ДоХтор, а зачем ты вообще расширяешь MySQLi? Ты там какую-то дополнительную функциональность хочешь реализовать?
Если просто что бы иметь доступ к БД внутри класса GbookDB, то:
class GbookDB
{
protected $db;
public function __construct($db)
{
$this->db = $db;
}
}
$db = new MySQL(...);
$gbook = new GbookDB($db);